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ビジネスデータ分析ツールの作成 with Excel

標準正規分布の確率とパーセント点の計算 with Excel

ショートカット

確率を求めたい

パーセント点を求めたい

Step 0シチュエーションの設定

ここでは,下のような標準正規分布表上側確率)を使って確率あるいはzを求める作業を,Excelでの処理に置き換えて見ていきます。

以下共通の設定として,片側0.5を超える確率は扱わないものとします。

z から 確率p を求める

Step 1ある z より大きくなる確率――上側確率p

z=1.64のとき,標準正規分布表において上側確率は0.05 (5%)とわかります(下図矢印の参照)。

Step 2NORM.S.DIST関数

Excelには下側確率を求めるための組み込み関数NORM.S.DIST(version2010以降)が用意されています。この関数の引数は次のとおりです。

  • NORM.S.DIST(z, 関数形式) ―"Office"

ただし,ここでは上側の確率こそが問題となっています。この場合,上記関数によって求めた値を全体(100%)から引いてやることで下側のそれを導きます。

具体的には,下図・下表のような式でそれを求めることができます。

B4 =1-NORM.S.DIST(B1, TRUE)

戻り値:0.05(5%)[※少数点第3位で四捨五入。以下に同じ]。これは,下のグラフ[※イメージ。以下に同じ]のグレーの彩色部分の面積です。

Step 3ある z より小さくなる確率――下側確率p

ここでは0より小さなzの値を想定……具体的にはz=-1.64とし,このzの場合の下側確率を求めます。

先の標準正規分布表は上側確率のそれゆえにマイナスのzが載っていません。したがってここでのように0より小さなzを扱う場合には,ちょっとばかり戸惑ってしまいます。……もっとも,ここで扱う標準正規分布が左右に対称であることをかえりみれば,便宜的にzの絶対値をとって鏡面に写したように図を反転させてやると,先の標準正規分布表がそのまま使えることに気づきます。

したがって|z|=1.64として先と同様に表から値を読みとると,下側確率は0.05 (5%)とわかります。

Step 4NORM.S.DIST関数

Excelの場合,NORM.S.DIST関数は下側(からの累積)確率を返すことから,直前に標準正規分布表を利用可能とするためになした類の調整が不要です。

したがって,こちらはよりシンプルに下図・下表のような式で求められます。

B4 =NORM.S.DIST(B1, TRUE)

戻り値:0.050(5%)。これは,下のグラフのグレーの彩色部分の面積です。

Step 5ある z の絶対値より大きくなる確率――両側確率2*p

|z|=1.96のとき,標準正規分布表において両側確率は0.05(5%,上側2つ分2.5%×2とわかります(下図矢印の参照)。

Step 6NORM.S.DIST関数

両側確率に関しても,これまで同様NORM.S.DIST関数で求められます。

具体的には,zの下側確率を求め(上側でも構いません),その戻り値を2倍します。

B4 =NORM.S.DIST(B1, TRUE)
B5 =B4*2

結果:0.050(5%)。これは,下のグラフのグレーの彩色部分の面積です。

片側確率p(上or下) または 両側確率2*p から z を求める[パーセント点]

Step 1片側確率p のときの z

p=0.05のとき,標準正規分布表においてz1.64とわかります(下図矢印の参照)。

Step 2NORM.S.INV関数

片側pに対するパーセント点は,NORM.S.INV(version2010以降)関数で求めます。このとき,引数は次のとおりです。

具体的には,下図・下表のような式でzが求められます。

下側(B4) =NORM.S.INV(B1)
上側(B5) =NORM.S.INV(1-B1)

戻り値:±1.64。これは,下の各のグラフの横軸・ポインターが指示する点です。

Step 3両側確率2*p のときの z

両側確率(2*p)=0.05のとき(片側は両側の半分),標準正規分布表においてz1.96とわかります(下図矢印の参照)。

Step 4NORM.S.INV関数

両側2*pに対するパーセント点も同様,NORM.S.INV関数で求められます。

先に見たとおりこの関数の引数は下側の確率を要求するので,両側2*pの半分を与えます。

具体的に,これは下図・下表のような式で求められます。

下側(B4) =NORM.S.INV(B1/2)
上側(B5) =NORM.S.INV(1-B1/2)

戻り値:±1.96。これは,下のグラフの横軸・左右両側のポインターが指示する点です。

参考にした書籍

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次頁はt分布の場合の確率とパーセント点の求め方です。

その他の参照