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χ2分布の確率とパーセント点の計算 with Excel

INTRO ショートカット
STEP 0 シチュエーションの設定

ここでは,下のようなχ2分布表(上側確率)を使って確率あるいはχ2値を求める作業を,Excelでの処理に置き換えて見ていきます。

χ²分布表(上側確率)

以下共通の設定として,自由度は3と固定して進めます。

χ2 から 確率p を求める

確率 — STEP 1 ある χ2 より大きくなる確率……上側確率p

χ2=7.815のとき,χ2分布表において上側確率は0.05(5%)とわかります(下図矢印の参照)。

χ²分布表から上側確率を読み取る
確率 — STEP 2 CHISQ.DIST.RT, CHISQ.DIST関数

上側確率は,ExcelではCHISQ.DIST.RT関数で求めます。この場合の引数は次のとおりです。

CHISQ.DIST.RT(χ2, 自由度) ―"Office"

具体的には,下図・下表のような式で上側確率が求められます。

CHISQ.DIST.RT関数の入力例
B5 =CHISQ.DIST.RT(B2, B1)

他方,これは次の関数を使って求めることも可能です。

CHISQ.DIST(χ2, 自由度, 関数形式※)

※引数「関数形式」は,[true] の指定で下側(累積)確率が,[false] の指定で確率密度(高さ)が返ります(ここでは後者の指定を必要とするような手続きは登場しません)。

この場合,具体的な式は下図・下表のとおりです。

CHISQ.DIST関数で上側確率を求める
B6 =1-CHISQ.DIST(B2, B1, TRUE)

戻り値: 0.050(5%)〔※小数点第4位で四捨五入。以下に同じ〕。これは,下のグラフ〔※イメージ。以下に同じ〕のグレーの彩色部分の面積です。

上側確率のグラフ
確率 — STEP 3 ある χ2 より小さくなる確率……下側確率p

χ2=0.584のとき,χ2分布表において下側確率は0.100(10.0%; =1-0.900)とわかります(下図矢印の参照)。

χ²分布表から下側確率を読み取る
確率 — STEP 4 CHISQ.DIST.RT, CHISQ.DIST関数

こちらも上側と同様に,CHISQ.DIST.RT関数で求められます。

具体的には,下図・下表のようになります。

CHISQ.DIST.RT関数で下側確率を求める
B5 =1-CHISQ.DIST.RT(B2, B1)

またこれは,先と同様CHISQ.DIST関数を利用して求めることも可能です。

この場合の式は下図・下表のとおりです。

CHISQ.DIST関数で下側確率を求める
B6 =CHISQ.DIST(B2, B1, TRUE)

戻り値: 0.100(10%)。これは,下のグラフのグレーの彩色部分の面積です。

下側確率のグラフ

片側確率p(上 or 下)から χ2 を求める[パーセント点]

パーセント点 — STEP 1 上側確率p のときの χ2

上側p=0.05のとき,χ2分布表においてχ2は7.815とわかります(下図矢印の参照)。

χ²分布表からパーセント点を読み取る(上側)
パーセント点 — STEP 2 CHISQ.INV.RT, CHISQ.INV関数

上側pに対するχ2値(100×pパーセント点)は,CHISQ.INV.RT関数で求めます。このとき,引数は次のとおりです。

CHISQ.INV.RT(上側p, 自由度) ―"Office"

具体的には,下図・下表のような式でχ2が求められます。

CHISQ.INV.RT関数の入力例
B5 =CHISQ.INV.RT(B2, B1)

他方,これは次の関数を使って求めることも可能です。

CHISQ.INV(下側p, 自由度)

この場合,具体的な式は下図・下表のとおりです。

CHISQ.INV関数の入力例(上側確率)
B6 =CHISQ.INV(1-B2, B1)

戻り値: 7.815。これは,下のグラフの横軸・ポインターが指示する点です。

CHISQ.INV.RT関数の結果グラフ
パーセント点 — STEP 3 下側確率p のときの χ2

下側p=0.100のとき(上側pに換算; =0.900),χ2分布表においてχ2は0.584とわかります(下図矢印の参照)。

χ²分布表からパーセント点を読み取る(下側)
パーセント点 — STEP 4 CHISQ.INV.RT, CHISQ.INV関数

こちらも上側と同様に,CHISQ.INV.RT関数で求めます。

この関数の引数が上側のpを要求する点に注意して式を組み立てると,具体的には下図・下表のようになります。

CHISQ.INV.RT関数の入力例(下側確率)
B5 =CHISQ.INV.RT(1-B2, B1)

またこれは,先と同様CHISQ.INV関数を利用して求めることも可能です。

この場合,式は下図・下表のとおりです。

CHISQ.INV関数の入力例(下側確率)
B6 =CHISQ.INV(B2, B1)

戻り値:0.584。これは,下のグラフの横軸・ポインターが指示する点です。

CHISQ.INV関数の結果グラフ(下側)