$n\geqq30$を満たすことから，これを

• 大標本

と判断します(これは一意な基準ではありません［以下Caseに同じ］)。

したがってCase 1ではStep 0の方針と照らし，

標準正規分布($z$分布)

を利用します。

母比率$p$の信頼区間は次の式によって求められます。

ただし, $\widehat{p}$: 標本比率, $\sqrt{\widehat{p}(1-\widehat{p})}$: 標準偏差, $z(\alpha/2)$: 標準正規分布の上側$\alpha/2$パーセント点。

これをシート上で計算するため，下表のような見出しを作成しておきます。

$n$(セルE3)，およびA案についての$\widehat{p}$(セルE5)を求めます。

あわせて$\sqrt{\widehat{p}(1-\widehat{p})}$も求めておきます(セルE6)。

(仮に)同様の標本抽出から区間推定を繰り返しおこなうことを考えたとき，その繰り返しのなかで一定の幅をもつ区間に母比率$p$を捉えられるであろう割合(「信頼係数」)を定めます。一般には0.90・0.95・0.99(百分率での表記の場合，これらを順に“信頼度”90%・95%・99%とも)といったところが利用されます。信頼係数を大きくとれば，区間の幅も広くなります。

ここでは設定のとおり，上記の羅列にはない0.80(80%)を選択します。これにより，有意水準(過誤確率)も決まります(1-信頼係数)。

標準正規分布の上側$\alpha/2$パーセント点を計算または入力します(下は計算の例です)。ExcelのNORM.S.INV関数は累積(下側)確率$p$に対する$z$の値を返すので，上側$z$はNORM.S.INV($\alpha/2$＋信頼係数)で計算します。つまり，信頼係数を0.80とした場合，$p=0.90$として対応する$z$を求めることになります。

また直接入力する場合，標準正規分布表から上側$\alpha/2$に対応する$z$を読み取ります。たとえば先に上げた3つ＋今回利用の信頼係数に対応する上側$z$は，下の表のとおりです。

Step 2の式から信頼区間を求めます。具体的には，

となります。

任意の桁で丸めるときは，信頼区間を満たすよう 下は切り捨て・上は切り上げによって処理します。

結果: メインターゲット層の支持に関して，信頼度80%のとき下側信頼限界は50%をこえることが確認できます。

上述の経過をブラックボックスにしてもよいのなら，CONFIDENCE.NORM関数によっても同様の計算が可能です。

この場合，戻り値は区間の幅の半分(1/2)です。これを$\widehat{p}$に加減して上限・下限を求めます。

標本サイズ$n<30$なので，これを

• 小標本

と判断します。

したがってCase 2ではStep 0の方針と照らし，推定に

$F$分布

を利用します。

母比率$p$の信頼区間は次の式によって求められます。

ただし，

• $n_1=2n(1-\widehat{p})+2$
• $n_2=2n\widehat{p}$
• $m_1=2n\widehat{p}+2$
• $m_2=2n(1-\widehat{p})$

$\widehat{p}$: 標本比率。また, $F(n_1, n_2; \alpha/2)$: 自由度$n_1$, $n_2$の$F$分布の上側$\alpha/2$パーセント点, $F(m_1, m_2; \alpha/2)$: 自由度$m_1$, $m_2$の$F$分布の上側$\alpha/2$パーセント点。

これをシート上で計算するため，下表のような見出しを作成しておきます。

$n$(セルE3)，$\widehat{p}$(セルE5)を求めます。

また$n_1, n_2, m_1, m_2$についても求めておきます(セルE7:E10)。

(仮に)同様の標本抽出から区間推定を繰り返しおこなうことを考えたとき，その繰り返しのなかで一定の幅をもつ区間に母比率$p$を捉えられるであろう割合(「信頼係数」)を定めます。一般には0.90・0.95・0.99(百分率での表記の場合，これらを順に“信頼度”90%・95%・99%とも)といったところが利用されます。信頼係数を大きくとれば，区間の幅も広くなります。

ここでは0.95(95%)を選択します。これにより，有意水準(過誤確率)も決まります(1-信頼係数)。

自由度$n_1,n_2$，$m_1,m_2$それぞれの$F$分布の上側$\alpha/2$パーセント点を計算します。F.INV.RT関数は上側確率$p$に対する$F$の値を返すので，F.INV.RT($\alpha/2$, 第1自由度, 第2自由度)として計算します。 つまり，信頼係数を0.95とした場合，$p=0.025$として対応する$F$を求めることになります。

Step 2の式から信頼区間を求めます。具体的には，

となります。

任意の桁で丸めるときは，信頼区間を満たすよう 下は切り捨て・上は切り上げによって処理します。

結果: 企画Aの学生の認知度$p$は，信頼度95%で23～69%の間にあると考えられます。

• 上田拓治(2009)『44の例題で学ぶ統計的検定と推定の解き方』オーム社, pp.179-183.
• 栗原伸一(2011)『入門 統計学 -検定から多変量解析・実験計画法まで-』オーム社, pp.72-77.
• 石村光資郎(2012)『身近な事例で学ぶやさしい統計学』オーム社, pp.114-118.
• アミール D. アクゼル・ジャヤベル ソウンデルパンディアン(2007)『ビジネス統計学［上］』鈴木一功監訳, 手嶋宣之・原 郁・原田喜美枝訳, ダイヤモンド社, pp.290-294.

• エクセル統計 BellCurve
• 「1標本の推定と検定」「母比率の推定」($z$推定・$F$推定｜有限母集団修正も可能)